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sistemas de ecuaciones lineales
luis compro 5 cuadernos y 4 plumones, y gasto en total $84, si la diferencia en el costo del cuaderno y del plumón es de $6
¿cuanto costo cada cuaderno y cada plumón?
c $ de cuaderno
p $ de plumón

5c+49=84(5 cuadernos mas 4 plumones es igual a 84)
c-p=6(diferencia entre el costo del cuaderno y del plumón)

un sistema de ecuaciones lineales 2x2 consiste en dos ecuaciones de primer grado con dos variables cada una
resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el valor de la variable que genera simultáneamente dichas ecuaciones
para resolver existen varios métodos
*sustitución
*igualación
*suma y resta o reducción
*calculadora
*determinantes

método de sustitución
tomando en cuenta el problema de luis
5c+4p=84
c-p=6

despejamos la variable "c"(incógnita) de la ecuación 2 utilizando las propiedades de la igualdad (se puede despejar cualquier variable de cualquiera de las dos ecuaciones)
 c-p=6
c=p+6

sustituimos la ecuación 3 en la ecuación 1
5(6+p)+4p=84

resolvemos la ecuación resultante
5(6+p)+49=84
30+5p+4p=84
30+9p=84
9p=84-30
9p=54
p=54/9
p=6

el valor obtenido se sustituye en la ecuación 3
c=6+p
c=6+6
c=12

comprobamos ambas soluciones,sustituyendo los valores encontrados por las variables em las ecuaciones 1 y 2, si las igualdades son ciertas,entonces los valores son los correctos.
ecuación 1
5c+4p=84
5(12)+4(6)=84
60+24=84
84=84

ecuación 2
c-p=6
12-6=6
6=6

método de igualación
consiste en despejar una misma variable de las ecuaciones, igualar ambas para obtener ecuación

5c+4p=84
c-p=6

despejamos la variable c en las dos ecuaciones
5c+4p=84
5c=84-4p
c=84-4p/5

ecuación 2
se igualan las 2 excepciones
84-49=6+p
-----------
   5

resolvemos la ecuación
84-4p=5(6+p)
84-4p=30+5p
-4p-5p=30-84
-9p=-54
p=-54/-9
p=6

método de suma y resta
se suman o se restan ambas ecuaciones de modo que la expresión resultante tenga una sola variable,se resuelve y se comprueba
tomando como referencia el problema de luis
escribimos el sistema de ecuación
5c+4p=84
c-p=6

analizamos las 2 ecuaciones para buscar una variable es mas fácil eliminar pos suma o resta. como en esre caso tenemos la variable 2p" tiene signos operativos,multiplicamos la ecuación 2x4 para obtener un sistema equivalente al original en el que se pueda sumar ambas ecuaciones
4(c-p=6)
4c-49-24

entonces
5c+49=84
4c-49-24

cancelamos "p" al sumar el miembro a miembro las 2 ecuaciones
5c+49=84
4c-49-24
------------
9c      =108

se resuelve la ecuación resultante para obtener el valor de la incógnita "c"
9c=108
c=108/9
c=12

sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales(generalmente en la mas sencilla) y lo resolvemos
c-p=6
12-p=6
-p=6
-1(-p=-6)
p=6
 comprobamos las dos soluciones sustituyendolas en las ecuaciones originales. si las igualdades son ciertas entonces los valores son correctos

Factorización
Para factorizar un numero o descomponerlo efectuamos sucesivamente divisiones entre sus diversos primos hasta obtener un común cociente
para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical,a la derecha escribiremos los divisores primos y a la izquierda el cociente

esto nos da como resultado 2^4x3^3

veamos algunos ejemplos



Factorizacion de expresiones algebraicas
Una constante es un numero real,o una letra que representa a un numero real,por ejemplo(2,3,5 o a,b,c)
Una variable es una letra que representa a un valor,se ponen las ultimas letras del abecedario(x,y,z)
Termino algebraico,es un producto que involucra constante y variable,por ejemplo(3a,2ax)
Una expresión algebraica es una suma,resta,división,multiplicación de varios términos(a+bx+cx^2+dx^3)
Veamos algunos de los ejemplos


2a^2x+6ax^2 . 2ax
                        .
                        .
                        .
 2ax*a+2ax*3x=(2ax)(a+3x)
                     

Notación exponencial 

Cuando hablamos de una multiplicación los números se multiplican entres si  las potencias se suman

veamos el siguiente ejemplo 

(8.5x10^2)x(5.7x10^4)

(8.5x5.7)(10^2+4)=48.45x10^6

Cuando hablamos de división,los números se dividen y la potencia se resta,como a continuación se presentan

(3.64x10^6)/(1.4x10^4)

(3.64x1.4)/(10^6-4)=2.6x10^2

Cuando se trata de una suma los números se suman y las potencias se multiplican,como se muestra enseguida

(5.47x10^2)+(1.2x10^-1)

6.67x10^-2=0.0667

Cuando se habla de una resta,los números se restan y las potencias se dividen,veamos un ejemplo

(1.1x10^-3)-(-1.1x10^3)

2.2x10^-1=0.22

Notación científica y números base 10
Todos los números enteros,se representan en base 10
La representacion usual de los números naturales en base 10 esto significa
los dígitos para representar son(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
Entonces,todo numero entero se puede representar con estos dígitos

Para poder entender esto,veamos unos ejemplos:

• 17= 1*10^1+7*10^0
• 83=8*10^1+3*10^0
• 123=1*10^2+2*10^1+3*10^0
• 4899=4*10^3+8*10^2+9*10^1+9*10^0

Forma desarrollada

1x10^1+7x10^0=10+7

3x10^3+3x10^2+7x10^1+7x10^0=3000+300+70+7

Lección 2

En la lección anterior hemos visto como trabajar con números reales y como facilitar el trabajo

En esta lección utilizaremos otra manera de trabajar números reales, para ello utilizaremos la notación exponencial.

Regla general

Un numero que termina en ceros puede expresarse como el producto del numero sin ceros multiplicando por 10 elevados

Ejemplo:

23000000=23x10^6

1870000000000=187x10^10

De estos ejemplos podemos obtener la regla para expresar un numero grande en notación exponencial

-se cuentan cuantas cifras tiene el numero

-al resultado se le resta uno y se usa como el exponente 10

-entonces el numero que se forma quintandole los ceros del numero original y poniendo el punto decimal de modo que quede un cifra a la izquierda del punto.

Por ejemplo:

23,000000 tiene ocho cifras,como 8-1 es igual a 7 este es el exponente que debe llevar el 10 y quitando los ceros queda 23, a 23 le dejamos una cifra entera y da 2.3 de modo que 23,000000 es igual a 2.3x10^7

Veamos algunos ejemplos

12567.8= 12x10^3+5x10^2+6x10^1+7x10^1+.8

325.61902=325x10^5+6x10^4+1x10^3+9x10^2+2x10^0

Números pequeños

Nos referimos a números menores que 1

Para escribir en forma exponencial,seguimos esta regla

-Recorremos el punto decimal a la derecha para que quede después de la primera cifra que sea distinta a cero

-contamos cuantos lugares recorrimos el punto y esa cantidad sera el exponente negativo a 10

Ejemplo:

0.000034=3.4x10^-5

0.00176=1.76x10^-3

PORCENTAJE

Es una manera practica de hablar,que ayuda a dar una idea inmediata de la magnitud de una cantidad respecto a otra.

REGLA

Se resuelve por medio de una regla de 3,por ejemplo: Si queremos obtener el 15% de "a",entonces es el 100% y se resuelve por una regla de 3

                                                    100%--------a

                                                     15%--------x         entonces x=15*a

                                                                                    -----------------

                                                                                            100

Algunos ejemplos son:

Encontrar el valor de 20% de 170

x=20*17

----------=34

     100

Encontrar el 90% de 2350

x=90*2350

------------=2115

       100

Encontrar el 29% de 1.5

x=29*1.5

-----------=0.435

     100

Observemos que de la formula para obtener

15% es x=15*a

            ---------

               100

Esto es equivalente a multiplicar 

"a"*15

      ----=0.15

       100

Por lo tanto 

para obtener el 3% de a basta con con multiplicar a*0.03

para obtener el 5% de a pasta con multiplicar a*0.05

para obtener el 10% de a basta con multiplicar a*0.1

PORCENTAJES DESCONOCIDOS 

Si se sabe que a,b que porcentaje es a de b,es decir si b es 100%,cual porcentaje es a

                                 100%----b

                                  x%------a

ejemplo

Que porcentaje es 30.4 de 95

x=30.4*100

    -----------=32%

          95

Que porcentaje es 156 de 1950

x=156*100

   ---------=8%

     1950

A continuación se presentan algunos ejemplo de porcentaje

Si una televisión cuesta $2300 y tiene un descuento del 12%

¿Cuanto costara la televisión?

      x=12*2300

         ----------=276%

              100

Si el salario mínimo es de $53 y tiene un aumento del 0.5%

¿Cuanto sera el salario?

x=53*0.5

    -------=0.265+53=53.265

       100